​不动点的原理及应用-命题背景第5集

不动点的原理及应用-命题背景第5集

不动点定理（fixed-point theorem）:对应于一个定义于集合到其自身上的映射而言,所谓不动点,是指经过该映射保持“不变 的”点.不动点定理是用于判断一个函数是否存在不动点的定理.常用的不动点定理有:

(1)布劳威尔不动点定理(1910年):若A⊂R(N维实数集合)且A为非空、紧凸集,f: A→A是一个从A到A的连续函数,则该函数 f(·)有一个不动点,即存在x∈A,x=f(x).该定理常被用于证明竞争性均衡的存在性.

(2)角谷(kakutani)不动点定理(1941年): 若A⊂R且A为非空、紧凸集,f : A→A是从 A到A的一个上半连续对应,且f(x)⊂A对于 任意x∈A是一个非空的凸集,则f(·)存在一个不动点.

不动点定理一般只给出解的存在性判断, 至于如何求解,则需要用到20世纪60年代末斯卡夫(H.E.Scarf)提出的不动点算法.因此, 不动点定理常被用于解决经济模型中出现的存在性问题,例如多人非合作对策中均衡点的存在性等.

数学应用

不动点定理给出一个一般的标准,如果条件满足,迭代函数的过程产生一个固定点.

相比之下,不动点定理是一个非建设性的结果：它表示从n维欧几里德空间中的封闭单位球到自身的任何连续函数都必须有一个固定点,但是没有描述如何找到固定点.

例如,余弦函数在[-1,1]中是连续的,并将其映射成[-1,1],因此必须有一个固定点.当检查余弦函数的草绘图时,这是很清楚的;发生固定点,其中余弦曲线y = cos（x）与线y = x相交.在数值上,固定点大约为x = 0.73908513321516（因此x = cos（x））.

代数拓扑中的Lefschetz定点定理（和Nielsen定点定理）是显着的,因为它在某种意义上给出了一种计数固定点的方法.另外在代数和离散数学，经济学中都有广泛的应用.

鉴于它的重要性，高考中用不动点法解题或者涉及不动点背景的题目层出不穷，如2006年全国②卷的22题，2010全国1卷的22题，2011湖南卷22题，2013年四川卷的16题等等。

我们例举几道题，有兴趣的不妨做一下

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